今天跟大家分享下算法思想中比较难的一种"动态规划"，动态规划给人像是作战时常用的“迂回战术”，或者说是

游击战，在运动中寻找突破口。

 

一： 思想

   首先要了解”动态规划“，必须先知道什么叫做”多阶段决策“，百科里面对这个问题解释的很全，我就load一段出来，

大家得要好好品味，好好分析。

 

上面图中最后一句话就定义了动态规划是要干什么的问题。

 

二：使用规则

    现在我们知道动态规划要解决啥问题了，那么什么情况下我们该使用动态规划呢？

   ①  最优化原理（最优子结构性质）：

           如果一个问题的最优策略它的子问题的策略也是最优的，则称该问题具有“最优子结构性质”。

   ②  无后效性：

           当一个问题被划分为多个决策阶段，那么前一个阶段的策略不会受到后一个阶段所做出策略的影响。

   ③  子问题的重叠性：

          这个性质揭露了动态规划的本质，解决冗余问题，重复的子问题我们可以记录下来供后阶段决策时

        直接使用，从而降低算法复杂度。

 

三：求解步骤

      ①   描述最优解模型。

      ②   递归的定义最优解，也就是构造动态规划方程。

      ③   自底向上的计算最优解。

      ④   最后根据计算的最优值得出问题的最佳策略。

 

四：与其他算法的差异

     ① 递归：  递归采用的是“由上而下”的解题策略并带有可能的”子问题“重复调用，时间复杂度自然高。

                   而”动态规划“采用”自下而上“并带有临时存储器保存上一策略的最优解，空间换时间。

     ② 分治：  同样两者都是将问题划分为很多的子问题，不同的是”动态规划“中各子问题是相互联系的。

     ③ 贪心：  要注意的是贪心算法每走一步都是不可撤回的，而动态规划是在一个问题的多种策略中寻找

                   最优策略，所以动态规划中前一种策略可能会被后一种策略推翻。

 

五：举例

  动态规划中，最经典最著名的例子莫过于”背包问题“，现有：

    苹果： 1kg    12￥

    梨子： 1kg     3￥

    葡萄： 1kg    10￥

    板栗： 1kg    25￥  

现有一个背包，只能装3kg水果，那么如何得到物品价值最大化？

using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text; namespace BeiBao {
   public class Program     {
   static void Main(string[] args)         {
               Goods goods = new Goods()             {
                   LimitWeight = 3,                 LimitNum = 4,                 Weight = new double[4] { 1, 1, 1, 1 },                 Value = new double[4] { 12, 3, 10, 25 }             };             BackPack(goods, 0, 0, goods.Value.Sum());             Console.WriteLine("经过最优化求解：\n"); for (int i = 0; i < goods.Selected.Length; i++)             {
   if (goods.Selected[i])                 {
                       Console.WriteLine("重量：" + goods.Weight[i] + " 价值：" + goods.Value[i]);                 }             }             Console.Read();         } static double maxValue; static bool[] selected = new bool[4]; static void BackPack(Goods good, int i, double tw, double tv)         {
   //当前追加物品的重量             var currentWeight = tw + good.Weight[i]; //当前重量小于限制重量则继续追加             if (currentWeight <= good.LimitWeight)             {
                   selected[i] = true; //如果当前不是最后一个商品，则继续追加                 if (i < good.LimitNum - 1)                 {
                       BackPack(good, i + 1, tw + good.Weight[i], tv);                 } else                 {
   for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)                     {
                           good.Selected[k] = selected[k];                     }                     maxValue = tv;                 }             }             selected[i] = false; //这里就体现了动态规划的根本目的，解决冗余             if (tv - good.Value[i] > maxValue)             {
   if (i < good.LimitNum - 1)                 {
   //排除当前物品所剩余的价值总值                     var exceptNotSelectedValue = tv - good.Value[i];                     BackPack(good, i + 1, tw, exceptNotSelectedValue);                 } else                 {
   for (int k = 0; k < good.LimitNum; k++)                     {
                           good.Selected[k] = selected[k];                     }                     maxValue = tv - good.Value[i];                 }             }         }     } #region 商品的实体 /// 
 /// 商品的实体 /// 
     public class Goods     {
   public double[] Value = new double[4]; public double[] Weight = new double[4]; public bool[] Selected = new bool[4]; public int LimitNum { get; set; } public double LimitWeight { get; set; }     } #endregion }